Question

如圖所示，等邊三角形CEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等．
（1）求證：∠AEF=∠AFE；
（2）求∠B的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵等邊三角形CEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，
∴BC=CE，
∴∠B=∠BEC．
同理∠D=∠CFD，
又∵∠B=∠D，
∴∠BEC=∠CFD．
∵EC=FC，
∴∠CEF=∠CFE．
∵∠BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°，
∴∠AEF=∠AFE．

（2）解：連接AC，
設∠BCE=y，∠B=x，△CEF是等邊三角形，
∴∠ECF=60°，又根據(jù)對稱性得到CA為∠ECF的平分線，
因而∠ACE=30°，
∴在△ABC和△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別得到方程組
解得
則∠B的度數(shù)是80°．
分析：本題中比較多的條件是相等的線段，出現(xiàn)了較多的等腰三角形．
（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到∠B=∠BEC，∠D=∠CFD，∠CEF=∠CFE．因而就可以證明：∠AEF=∠AFE．
（2）連接AC，設∠BCE=y，∠B=x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到方程組，求解即可．
點評：本題運用了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形三角和定理，可以把問題轉(zhuǎn)化為方程組的問題．