Question

5．如圖所示，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形=EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．
（1）求證：$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；
（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出即可；
（2）根據(jù)矩形的面積公式，可以把面積表示成關(guān)于EF的長的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答 （1）證明：∵四邊EFPQ是矩形，
∴EQ=HD=FP，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$（相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比）．

（2）解：∵由（1）得$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$，
∵BC=10，AD=8，EF=x，
∴$\frac{AH}{8}$=$\frac{x}{10}$．
∴AH=$\frac{4}{5}$x．
∴EQ=HD=AD-AH=8-$\frac{4}{5}$x．
∴y=EF×EQ=x（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+8x=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20．
∵a=-$\frac{4}{5}$＜0，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y的最大值為20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．