Question

如圖，已知拋物線圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若C（m，m-1）是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求證：四邊形DECF是矩形；
②連結(jié)EF，線段EF的長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1)；（2）①證明見(jiàn)解析；②2.

解析試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）把C（m，m-1）代入求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根據(jù)，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等求得∠ACH=∠CBH，因?yàn)椤螩BH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°從而求得∠ACB=90°，先根據(jù)有兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形求得四邊形DECF是平行四邊形，進(jìn)而求得DECF是矩形；
（3）根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，求得EF=CD，因?yàn)楫?dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的值最小，此時(shí)CD的值為2，所以EF的最小值是2；
試題解析：（1）∵拋物線圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴根據(jù)題意，得，解得，
所以拋物線的解析式為：；
（2）①證明：∵把C（m，m-1）代入得
∴，
解得：m=3或m=-2，
∵C（m，m-1）位于第一象限，
∴，
∴m＞1，
∴m=-2舍去，
∴m=3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，2），
由A（-1，0）、B（3，0）、C（3，2）得  AH=4，CH=2，BH=1，AB=5
過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AB，垂足為H，則∠AHC=∠BHC=90°，
∵，∠AHC=∠BHC=90°
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH=∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH=90°
∴∠ACH+∠BCH=90°
∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∴DECF是矩形；
②存在；
連接CD
∵四邊形DECF是矩形，
∴EF=CD，
當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的值最小，
∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2；

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．