Question

（2012•江西）如圖，已知二次函數(shù)L₁：y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)L₂：y=kx²-4kx+3k（k≠0），頂點(diǎn)為P．
①直接寫(xiě)出二次函數(shù)L₂與二次函數(shù)L₁有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；
②是否存在實(shí)數(shù)k，使△ABP為等邊三角形？如果存在，請(qǐng)求出k的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
③若直線y=8k與拋物線L₂交于E、F兩點(diǎn)，問(wèn)線段EF的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化？如果不會(huì)，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的解析式，當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，可求得A、B的橫坐標(biāo)，由此得解．
（2）①直接從系數(shù)的變化情況來(lái)進(jìn)行分析；
②當(dāng)△ABP為等邊三角形時(shí)，P點(diǎn)必為函數(shù)的頂點(diǎn)，首先表示出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，它的絕對(duì)值正好是等邊三角形邊長(zhǎng)的

3

2

倍，由此確定k的值；
③聯(lián)立直線y=8k和拋物線的解析式，求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷EF是否為定值．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3；
即：A（1，0），B（3，0）；

（2）①二次函數(shù)L₂與L₁有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)：
（Ⅰ）對(duì)稱軸都為直線x=2或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2；
（Ⅱ）都經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)；
②存在實(shí)數(shù)k，使△ABP為等邊三角形．
∵y=kx²-4kx+3k=k（x-2）²-k，
∴頂點(diǎn)P（2，-k）．
∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2
要使△ABP為等邊三角形，必滿足|-k|=

3

，
∴k=±

3

；

③線段EF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化．
∵直線y=8k與拋物線L₂交于E、F兩點(diǎn)，
∴kx²-4kx+3k=8k，
∵k≠0，∴x²-4x+3=8，
∴x₁=-1，x₂=5，
∴EF=x₂-x₁=6，
∴線段EF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，雖然題目較長(zhǎng)，但難度適中，適合訓(xùn)練．