24、如圖，拋物線y=ax2+bx+c頂點為P（1，-1），與x軸交于O、A兩點，其中O為原點，點C是對稱軸與x軸的交點．
（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）試在拋物線上找點D，在對稱軸上找點Q，使得以P、D、Q為頂點的三角形與△OPC相似．請求出所有可能的點D和點Q的坐標．
分析：（1）根據(jù)頂點坐標求出y=a（x-1）2-1進而二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先得出△OPC為等腰直角三角形，要使以P、D、Q為頂點的三角形與△OPC相似，則△PDQ也一定為等腰直角三角形，進而得出D點的坐標，再分別求出即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點為P（1，-1），
∴y=a（x-1）2-1
又拋物線經(jīng)過原點O，
∴0=a（0-1）2-1，
∴a=1，（3分）
∴拋物線的解析式為y=（x-1）2-1，
即：y=x2-2x，（4分）
對稱軸為：直線x=1，
∴C點坐標為（1，0）（5分）；

（2）由（1）知，OC=1，PC=1，∠OCP=90°，
∴△OPC為等腰直角三角形．（6分）
要使以P、D、Q為頂點的三角形與△OPC相似，則△PDQ也一定為等腰直角三角形．
顯然，∠DPQ不可能是90°，所以∠DPQ=45°（7分），
∴點P在直線PO或直線PB上．
∴點D只能是（0，0），或（2，0）（9分），
當D為（0，0）時，若∠DQP=90°，則點Q與點C重合，
從而△PDQ與△OPC重合，不合，舍去；
若∠PDQ=90°，則點Q的坐標為（1，1）（10分）
當D為（2，0）時，若∠DQP=90°，則點Q與點C重合，即點Q的坐標為（1，0）；
若∠PDQ=90°，則點Q的坐標為（1，1）（11分）
所以，符合題意的點D和點Q為：D（0，0）、Q（1，1）；D（2，0）、Q（1，0）．（12分）
點評：此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的性質(zhì)，在二次函數(shù)中相似三角形的應用是考查重點，同學們應重點掌握．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

8、如圖，直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+c的圖象在同一坐標系中可能是（　　）

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點P（-
1
2
，
9
8
），且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A，B兩點．
（1）求a值；
（2）設y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M，N兩點（點M在點N的左邊），y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點（點E在點F的左邊），觀察M，N，E，F(xiàn)四點的坐標，寫出一條正確的結論，并通過計算說明；
（3）設A，B兩點的橫坐標分別記為xA，xB，若在x軸上有一動點Q（x，0），且xA≤x≤xB，過Q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D精英家教網(wǎng)兩點，試問當x為何值時，線段CD有最大值，其最大值為多少？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，拋物線y=-ax2+ax+6a交x軸負半軸于點A，交x軸正半軸于點B，交y軸正半軸于點D，精英家教網(wǎng)O為坐標原點，拋物線上一點C的橫坐標為1．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求證：四邊形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線的頂點為點D，與y軸相交于點A，直線y=ax+3與y軸也交于點A，矩形ABCO的頂點B在精英家教網(wǎng)此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對稱軸；
（2）⊙P是經(jīng)過A、B兩點的一個動圓，當⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點的距離為4時，求圓心P的坐標；
（3）若線段DO與AB交于點E，以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似，如果有可能，請求出點D坐標及拋物線解析式；如果不可能，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點C（0，-2），精英家教網(wǎng)與x軸交于點A、B，點A的坐標為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動點，N是線段OC上一動點，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當△MNC的面積最大時，求點M、N的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P，與線段AC交于點F，點D的坐標為（-1，0）．問：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案