Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DE，分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，AD平分∠BAC．
（1）寫出圖中相等的線段，并說(shuō)明相等的理由．（寫出三組，即可得滿分）
（2）試判斷∠CAD與∠B的大小關(guān)系，并推理說(shuō)明你的判斷結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵AB的垂直平分線DE，分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，
∴AE=BE（線段垂直平分線定義），
AD=BD（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）．
∵AE=，AC=，
∴AE=AC．

（2）∠CAD=∠B．理由如下：
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B．
又AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠B．
分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和定義，得AD=BD，AE=BE；根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得CD=ED；根據(jù)勾股定理，得AE=AC．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，根據(jù)等邊對(duì)等角即可說(shuō)明．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和勾股定理．