Question

（2013•遵義）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．
（1）求證：CM=CN；
（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求

MN

DN

的值．

Answer 1

分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；
（2）首先過點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設(shè)DN=x，由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；

（2）解：過點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，
則四邊形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，
∴

S△CMN

S△CDN

=

1 2 •MC•NH

1 2 •DN•NH

=

MC

ND

=3，
∴MC=3ND=3HC，
∴MH=2HC，
設(shè)DN=x，則HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC=

CN2-DN2

=2

2

x，
∴HN=2

2

x，
在Rt△MNH中，MN=

MH2+HN2

=2

3

x，
∴

MN

DN

=

2 3 x

x

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．