已知在平面直角坐標系xOy中,二次函數y=x2-bx+c(b>0)的圖象經過點A(-1,b),與y軸相交于點B,且∠ABO的余切值為3.
(1)求點B的坐標;
(2)求這個函數的解析式;
(3)如果這個函數圖象的頂點為C,求證:∠ACB=∠ABO.
【答案】
分析:(1)根據題意,得b=1+b+c,可得c=-1,從而得出點B的坐標;
(2)過點A作AH⊥y軸,垂足為點H.由∠ABO的余切值為3,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195739799348333/SYS201311031957397993483023_DA/0.png)
,而AH=1,可得BH=3.又BO=1,可得HO=2,b=2,從而得出函數的解析式.
(3)由y=x
2-2x-1=(x-1)
2-2,得頂點C的坐標為(1,-2).根據已知可證明∴△ABC∽△AOB,從而得出∠ACB=∠ABO.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195739799348333/SYS201311031957397993483023_DA/images1.png)
解:(1)根據題意,得b=1+b+c.
∴c=-1.
∴B(0,-1);
(2)過點A作AH⊥y軸,垂足為點H.
∵∠ABO的余切值為3,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195739799348333/SYS201311031957397993483023_DA/1.png)
.
而AH=1,∴BH=3.
∵BO=1,∴HO=2.
∴b=2.
∴所求函數的解析式為y=x
2-2x-1;
(3)由y=x
2-2x-1=(x-1)
2-2,得頂點C的坐標為(1,-2).
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195739799348333/SYS201311031957397993483023_DA/2.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195739799348333/SYS201311031957397993483023_DA/3.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195739799348333/SYS201311031957397993483023_DA/4.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195739799348333/SYS201311031957397993483023_DA/5.png)
,BO=1.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195739799348333/SYS201311031957397993483023_DA/6.png)
.
∴△ABC∽△AOB.
∴∠ACB=∠ABO.
點評:本題考查了二次函數綜合題,難度一般,關鍵是掌握相似三角形的證明方法.