Question

已知：如圖，拋物線與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ.當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；

（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）.問：是否存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）y=－；（2）Q（1，0）；（3）存在，P₁（，2）或P₂（，2）或P₃（，3）或P₄（，3）.

【解析】

試題分析：（1）把點A和點C的坐標代入，利用待定系數(shù)法即可求出字母a和c的值，從而求出函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點Q的坐標為（m，0），根據(jù)EQ∥AC，得到△BQE∽△BAC，利用相似三角形對應高的比等于相似比，用字母m表示出BG的長，然后根據(jù)表示出△CQE面積是關(guān)于字母m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算出面積的最大值；（3）根據(jù)題意，分三種情況，先畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答.

試題解析：（1）由題意得，

解得

∴所求拋物線得解析式為：y=－.

（2）設(shè)點Q的坐標為（m，0），過點E作EG⊥X軸與點G

由－=0，得=－2，.

∴點B的坐標為（－2，0）.

∴AB=6，BQ= m＋2.

又∵QE∥AC，

∴△BQE∽△BAC，

∴.

即.

∴EG= .

∴

=

=

= 

=.

又∵－2≤m≤4，

∴當m=1時，有最大值為3，此時Q（1，0）.

（3）存在.在△ODF中

①若DO=DF時，

∵A（4，0），D（2，0），

∴AD=OD=DF=2.

又在RT△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°.

∴∠DFA=∠OAC=45°.

∴∠ADF=90°.

此時點F的坐標為(2，2).

由得x₁＝，x₂＝.

此時點P的坐標為:P（，2）或P（，2）.

②若OF＝DF時，過點F作FM⊥x軸與點M，

由等腰三角形的性質(zhì)得:OM＝OD＝1.

∴F（1，3）.

由由得x₁＝，x₂＝.

此時點P的坐標為:P（，3）或P（，3）.

③若OD＝OF，

∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，

∴AC＝.

∴點O到AC的距離為.

而OF＝OD＝2＜，與OF≥矛盾，

∴AC上不存在點使得OF＝OD＝2.

此時不存在這樣直線L，使得△ODF是等腰三角形.

綜上所述，存在這樣的直線L，使得△ODF是等腰三角形.

所求點P的坐標為:

 P₁（，2）或P₂（，2）或P₃（，3）或P₄（，3）.

考點：1待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，2二次函數(shù)與圖形面積問題的應用，等腰三角形的性質(zhì)，3動點問題.