已知自然數(shù)n不能被5整除，求證：n4-1一定能被5整除．
【答案】分析：由自然數(shù)n不能被5整除，即可得n的個位數(shù)字不為0和5，然后分別從若n的個位數(shù)字為1，3，7，9與若n的個位數(shù)字為2，4，6，8去分析，即可得n4-1的個位數(shù)字是0或5，則可證得n4-1一定能被5整除．
解答：證明：∵自然數(shù)n不能被5整除，
∴n的個位數(shù)字不為0和5，（2分）
若n的個位數(shù)字為1，3，7，9，則n4的個位數(shù)字總是1，故n4-1的個位數(shù)字為0．
若n的個位數(shù)字為2，4，6，8，則n4的個位數(shù)字總是6，故n4-1的個位數(shù)字為5．
∴n4-1總能被5整除．（12分）
點評：此題考查了數(shù)的整除性問題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握自然數(shù)n能被5整除，則n的個位數(shù)字為0或5；注意分類討論思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

17、已知自然數(shù)n不能被5整除，求證：n4-1一定能被5整除．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，…，排成如圖所示的數(shù)表，用十字框任意框出5個數(shù)．
探究規(guī)律一：設(shè)十字框中間的奇數(shù)為a，則框中五個奇數(shù)之和用含a的代數(shù)式表示為
 
．
結(jié)論：這說明能被十字框框中的五個奇數(shù)之和一定是自然數(shù)p的奇數(shù)倍，這個自然數(shù)p是
 
．
探究規(guī)律二：
落在十字框中間且又是第二列的奇數(shù)是15，27，39…則這一列數(shù)可以用代數(shù)式表示為12m+3（m為正整數(shù)），同樣，落在十字框中間且又是第三列，第四列，第五列的奇數(shù)分別可表示為
 
．
運用規(guī)律：
（1）已知被十字框框中的五個奇數(shù)之和為6025，則十字框中間的奇數(shù)是
 
．這個奇數(shù)落在從左往右第
 
列．
（2）請你寫出一個不能夠框在十字框中間的且大于500的奇數(shù)：
 
．
（3）被十字框框中的五個奇數(shù)之和可能是485嗎？可能是3045嗎？說說你的理由．精英家教網(wǎng)
變通運用：
若把這些奇數(shù)重新排列如右圖，解答下列問題：
（1）下列能被十字框框在中間的奇數(shù)是（
 
　）
A.841   B.1121   C.1263  D.1091
（2）被框在十字框中的五個數(shù)之和可能是1925嗎？說說你的理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：013

選擇題

(1)6÷5=1.2，表示

[　　]

A．6能被5整除
B．6能被5除盡
C．6不能被5除盡
D．5能整除6

(2)和22相鄰的整數(shù)是

[　　]

A．20、21
B．21、23
C．23、24
D．都是

(3)下面四句話中，正確的是

[　　]

A．最小的整數(shù)是1

B．整數(shù)一定比小數(shù)大

C．4能被0.8整除

D．負整數(shù)、0、正整數(shù)都是整數(shù)

(4)已知正整數(shù)a能整除23，那么a是

[　　]

A．46
B．23
C．1或23
D．任何自然數(shù)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

選擇題

(1)6÷5=1.2，表示

[　　]

A．6能被5整除
B．6能被5除盡
C．6不能被5除盡
D．5能整除6

(2)和22相鄰的整數(shù)是

[　　]

A．20、21
B．21、23
C．23、24
D．都是

(3)下面四句話中，正確的是

[　　]

A．最小的整數(shù)是1

B．整數(shù)一定比小數(shù)大

C．4能被0.8整除

D．負整數(shù)、0、正整數(shù)都是整數(shù)

(4)已知正整數(shù)a能整除23，那么a是

[　　]

A．46
B．23
C．1或23
D．任何自然數(shù)

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