Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠C=90°，CD=8cm，動點P、Q同時從B出發(fā)，速度都是1cm/s，點P沿BA、AD、DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到C點停止．當(dāng)點P運動到A點時，點Q恰好運動到C點．設(shè)P點運動的時間為t（s）時，△BPQ的面積為y（cm²）．已知點P在AD邊上運動時y與t的函數(shù)圖象是圖2中的線段MN．

（1）BC=______cm，BA=______cm，AD=______cm，點M的坐標(biāo)為______．
（2）P在CD邊上運動時，是否存在時刻t，△PAB的周長最��？若不存在，請說明理由．
（3）△PCD能否成為等腰三角形？若能，直接寫出t值；若不能，請說明理由．
（4）分別求出P在BA邊上和DC邊上運動時y與t的函數(shù)關(guān)系式（注明自變量的取值范圍），并在圖2中補全整個運動中y與t的函數(shù)圖象．

Answer 1

解：（1）如圖1．設(shè)動點P出發(fā)t秒后，點P到達(dá)點A且點Q正好到達(dá)點C時，BC=BA=t，
則S_△BPQ=BC•CD=×t×8=40，
所以t=10（秒），
則BC=BA=10cm，點M的坐標(biāo)為（10，40）．
過點A作AH⊥BC于H，則四邊形AHCD是矩形，
∴AD=CH，CD=AH=8cm，
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=10cm，AH=8cm，
∴BH==6cm，
∴CH=BC-BH=4cm，
∴AD=4cm；

（2）如備用圖1，延長AD到A′，使A′D=AD，連接A′B，交CD于P，
則PA+PB=PA′+PB=A′B最�。�
∵A′D∥BC，
∴△A′DP∽△BCP，
∴=，即=，
解得DP=，
∴BA+AD+DP=10+4+=，
∴t=÷1=．
故P在CD邊上運動時，存在時刻t=秒，能夠使△PAB的周長最��；

（3）△PCD為等腰三角形時，分三種情況：
①如果PC=PD，如備用圖2，作CD的垂直平分線交AB于P₁，則P₁為AB的中點，此時t₁=BP₁÷1=5；
②如果CP=CD=8，如備用圖3，以C為圓心，CD長為半徑畫弧，交AB于點P₂，過P₂作P₂E⊥BC于E，過點A作AH⊥BC于H．
設(shè)BP₂=x，則P₂E=BP₂•sin∠B=x•=x，BE=BP₂•cos∠B=x，
∴CE=BC-BE=10-x．
在Rt△P₂EC中，∵∠P₂EC=90°，
∴P₂E²+CE²=CP₂²，（x）²+（10-x）²=64，
整理，得x²-12x+36=0，
解得x₁=x₂=6，
∴BP₂=6，t₂=BP₂÷1=6；
③如果DP=DC，如備用圖4，以D為圓心，CD長為半徑畫弧，交AB于點P₃，過P₃作P₃F⊥AD于F．
設(shè)AP₃=y，則P₃F=AP₃•sin∠FAP₃=AP₃•sin∠B=y•=y，AF=AP₃•cos∠B=y，
∴DF=DA+AF=4+y．
在Rt△P₃FD中，∵∠P₃FD=90°，
∴P₃F²+DF²=DP₃²，（y）²+（4+y）²=64，
整理，得5y²+24y-240=0，
解得y₁=，y₂=（不合題意舍去），
∴BP₃=AB-AP₃=10-=，t₃=BP₃÷1=；
綜上所述，△PCD能成為等腰三角形，此時t的值為5秒或6秒或秒；

（4）當(dāng)點P在BA邊上時，
y=×t×tsinB=t²×=t²（0≤t≤10）；
當(dāng)點P在DC邊上時，
y=×10×（22-t）=-5t+110（14≤t≤22）；
如圖2所示．
分析：（1）P在AD邊上運動時，△BPQ以BQ為底邊，以CD長為高，因此可根據(jù)△BPQ的面積為40cm²求出BC=10cm，而P、Q速度相同，P到A的時間與Q到C的時間相同，因此BA=BC=10cm，點M的坐標(biāo)為（10，40）．求AD的長可通過構(gòu)建直角三角形來求解．過A作AH⊥BC與H，那么在直角三角形ABH中，AH=CD=8cm，BA=10cm，因此可根據(jù)勾股定理求出BH=6cm，那么AD=BC-BH=4cm；
（2）△PAB的周長=PA+AB+PB，而AB=10cm為定值，所以當(dāng)PA+PB最小時，△PAB的周長最�。�延長AD到A′，使A′D=AD，連接A′B，交CD于P，此時PA+PB最小．由△A′DP∽△BCP，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解；
（3）△PCD為等腰三角形時，分三種情況進(jìn)行討論：①PC=PD；②CP=CD；③DP=DC；
（4）△BQP中，BQ=t，BP=t，以BQ為底邊的高可用BP•sin∠B來表示，然后可根據(jù)三角形的面積計算公式得出關(guān)于y，t的函數(shù)關(guān)系式．
點評：本題是四邊形綜合題，主要考查了梯形的性質(zhì)，三角形的面積，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱-最短路線，等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強，有一定難度．借助函數(shù)圖象表達(dá)題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵．