Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b（b＞0），分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（3，0），D（6，0），以CD為一邊在x軸上方作矩形CDEF，CF=$\sqrt{3}$，設(shè)矩形CDEF與△ABO重疊部分的面積為S．
（1）當(dāng)S等于矩形CDEF面積的一半時(shí)，求出b的值．
（2）求S與b的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A，G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積，可得函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)面積間的關(guān)系，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A，G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積，可得函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）如圖，
CD=6-3=3，CF=$\sqrt{3}$．
S_矩形CDEF=CD•CF=6$\sqrt{3}$．
y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b=0，解得x=$\sqrt{3}$b，
即A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$b，0）．
AC=$\sqrt{3}$b-3．
當(dāng)x=3時(shí)，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3+b=b-$\sqrt{3}$，
即G點(diǎn)坐標(biāo)（3，b-$\sqrt{3}$）．
CG=b-$\sqrt{3}$，
矩形CDEF與△ABO重疊部分的面積為S，
S=$\frac{1}{2}$CG•AC=$\frac{1}{2}$（b-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$b-3），
當(dāng)S等于矩形CDEF面積的一半時(shí)，
即$\frac{1}{2}$（b-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$b-3）=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$．
解得b=2$\sqrt{3}$，b=0（不符合題意，舍）；
（2）由（1）知，
S=$\frac{1}{2}$CG•AC=$\frac{1}{2}$（b-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$b-3），
化簡(jiǎn)，得
S=$\frac{\sqrt{3}}{2}^{2}$-3b+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用三角形的面積得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．