Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式；
（2）需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，則F（x，x+3）和②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x-1），然后利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）方法一：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q；過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖1．設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求得線段PQ=-x²+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式知S_△APC=-（x-）²+，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值；
方法二：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2．設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）．根據(jù)圖示以及三角形的面積公式知S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC═-（x-）²+，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值．
解答：解：（1）由拋物線y=-x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0）及C（2，3）得，

，
解得，
故拋物線為y=-x²+2x+3；
又設(shè)直線為y=kx+n過(guò)點(diǎn)A（-1，0）及C（2，3），
得，
解得，
故直線AC為y=x+1；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4），
當(dāng)x=1時(shí)，y=x+1=2，
∴B（1，2），
∵點(diǎn)E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1）．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，則F（x，x+3），
∵F在拋物線上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去），
∴E（0，1）；
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x-1），
∵F在拋物線上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得x=或x=，
∴E（，）或（，），
綜上，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）或（，）或（，）；

（3）方法一：如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1）
=-x²+x+2
又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ
=PQ•AG
=（-x²+x+2）×3
=-（x-）²+，
∴面積的最大值為；
方法二：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖3，
設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）
又∵S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC
=（x+1）（-x²+2x+3）+（-x²+2x+3+3）（2-x）-×3×3
=-x²+x+3
=-（x-）²+，
∴△APC的面積的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，有一定難度．解答（2）題時(shí)，要對(duì)點(diǎn)E所在的位置進(jìn)行分類討論，以防漏解．