Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，∠AOC的平分線交AB于點D，E為BC的中點，已知A（0，4）、C（5，0），二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象拋物線經(jīng)過A，C兩點．

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接D、E、F、G構成四邊形DEFG，求四邊形DEFG周長的最小值；

（3）拋物線上是否在點P，使△ODP的面積為12？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）將A（0，4）、C（5，0）代入二次函數(shù)y=x²+bx+c，得

，

解得．

故二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=x²﹣x+4；

（2）如圖：

延長EC至E′，使E′C=EC，延長DA至D′，使D′A=DA，連接D′E′，交x軸于F點，交y軸于G點，

GD=GD′EF=E′F，

（DG+GF+EF+ED）_最小=D′E′+DE，

由E點坐標為（5，2），D（4，4），得D′（﹣4，4），E（5，﹣2）．

由勾股定理，得

DE==，D′E′==，

（DG+GF+EF+ED）_最小=D′E′+DE=+；

（3）如下圖：

OD=．

∵S△ODP的面積=12，

∴點P到OD的距離==3．

過點O作OF⊥OD，取OF=3，過點F作直線FG∥OD，交拋物線與點P₁，P₂，

在Et△OGF中，OG===6，

∴直線GF的解析式為y=x﹣6．

將y=x﹣6代入y=得：x﹣6=，

解得：，，

將x₁、x₂的值代入y=x﹣6得：y₁=，y₂=

∴點P₁（，），P₂（，）

如下圖所示：

過點O作OF⊥OD，取OF=3，過點F作直線FG交拋物線與P₃，P₄，

在Rt△PFO中，OG==6

∴直線FG的解析式為y=x+6，

將y=x+6代入y=得：x+6=

解得：，

y₁=x₁+6=，y₂=x₂+6=

∴p₃（，），p₄（，）

綜上所述：點P的坐標為：（，）或（，）或（，）或（，）．

點評：

本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，求得點P到OD的距離是解題的關鍵，解得此類問題通常可以將函數(shù)問題轉化為方程或方程組的問題．