Question

如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，BF、CD相交于點(diǎn)M．
（1）若∠A=80°，∠ABC=50°，求∠BMC的度數(shù)．
（2）若其他條件均不變，只把題中的“BF是△ABC的高”改為“BF是△ABC的角平分線”的情況下，請(qǐng)?zhí)剿鳌螦與∠BMC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ACD，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義可得∠MBC+∠MCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB），然后在△BMC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵∠A=80°，∠ABC=50°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-80°-50°=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=

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2

∠ACB=

1

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×50°=25°，
∵BF是△ABC的高，
∴∠CFM=90°，
∴∠BMC=∠ACD+∠CFM=25°+90°=115°；

（2）∠BMC=90°+

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2

∠A．
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BF、CD是△ABC的角平分線，
∴∠MBC=

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2

∠ABC，∠MCB=

1

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∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A），
在△BMC中，∠BMC=180°-（∠MBC+∠MCB）=180°-

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2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
即∠BMC=90°+

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2

∠A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．