Question

（2012•南平）如圖，直線l與⊙O交于C、D兩點(diǎn)，且與半徑OA垂直，垂足為H，已知OD=2，∠O=60°，
（1）求CD的長；
（2）在OD的延長線上取一點(diǎn)B，連接AB、AD，若AD=BD，求證：AB是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）由OA垂直于CD，利用垂徑定理得到H為CD的中點(diǎn)，在直角三角形ODE中，由∠O=60°求出∠ODH=30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由OD的長求出OH的長，再利用勾股定理求出HD的長，由CD=2HD即可求出CD的長；
（2）由OA=OD且∠O=60°，得到三角形OAD為等邊三角形，可得出AD=OD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由AD=DB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，又這四個(gè)角之和為180°，等量代換可得出∠OAB為直角，即OA垂直于AB，即可得到AB為圓O的切線，得證．

解答：（1）解：∵OA⊥CD，
∴H為CD的中點(diǎn)，即CH=DH，
在Rt△OHD中，∠O=60°，
∴∠ODH=30°，又OD=2，
∴OH=

1

2

OD=1，
根據(jù)勾股定理得：HD=

OD2-OH2

=

3

，
則CD=2HD=2

3

；

（2）證明：∵OA=OD，∠O=60°，
∴△AOD為等邊三角形，
∴∠OAD=∠ODA，
又AD=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠OAD+∠ODA+∠DAB+∠DBA=2（∠ODA+∠DAB）=180°，
∴∠ODA+∠DAB=90°，即∠OAB=90°，
則AB為圓O的切線．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，垂徑定理，勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的數(shù)學(xué)思想，其中切線的判定方法有兩種：有點(diǎn)連接證明垂直；無點(diǎn)作垂線證明垂線段等于圓的半徑．