Question

已知：如圖，CA、CD是⊙O的切線，A、D為切點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，連OC交⊙O于E，連ED、EB．
（1）試猜想∠ACD與∠BED的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）若⊙O的半徑為5，ED=2

5

，求sin∠BED的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）連接OD，求出∠ACD=∠DOB，根據(jù)圓周角定理得出∠BOD=2∠BED，求出即可；
（2）連接AD，求出∠DCO=∠ODM=∠BED，求出OM，解直角三角形求出即可．

解答：（1）答：∠ACD與∠BED的數(shù)量關(guān)系是∠ACD=2∠BED，
證明：連接OD，
∵CA、CD是⊙O的切線，A、D為切點(diǎn)，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴∠ACD+∠AOD=360°-90°-90°=180°，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠ACD=∠BOD，
由圓周角定理得：∠BOD=2∠BED，
∴∠ACD=2∠BED．

（2）解：連接AD交CO于M，
∵CA、CD是⊙O的切線，A、D為切點(diǎn)，
∴AC=CD，∠ACO=∠DCO=

1

2

∠ACD，
∵∠ACD=2∠BED，
∴∠BED=∠DCO，
∵AC=CD，∠ACO=∠DCO，
∴CO⊥AD，
∴∠DMO=90°=∠CDO，
∴∠DCO+∠DOM=90°，∠ODM+∠DOM=90°，
∴∠ODM=∠DCO=∠BED，
設(shè)OM=x，則EM=5-x，
由勾股定理得：DM²=（2

5

）²-（5-x）²=5²-x²，
x=3，
在Rt△OMD中，sin∠BED=sin∠ODM=

OM

OD

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．