Question

（2013•無錫）如圖，直線x=-4與x軸交于點E，一開口向上的拋物線過原點交線段OE于點A，交直線x=-4于點B，過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點C，直線OC交直線AB于D，且AD：BD=1：3．
（1）求點A的坐標；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此拋物線的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）過點D作DF⊥x軸于點F，由拋物線的對稱性可知OF=AF，則2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出

AF

AE

=

AD

AB

=

1

2

，即AE=2AF②，①與②聯(lián)立組成二元一次方程組，解出AE=2，AF=1，進而得到點A的坐標；
（2）先由拋物線過原點（0，0），設此拋物線的解析式為y=ax²+bx，再根據(jù)拋物線過原點（0，0）和A點（-2，0），求出對稱軸為直線x=-1，則由B點橫坐標為-4得出C點橫坐標為2，BC=6．再由OB＞OC，可知當△OBC是等腰三角形時，可分兩種情況討論：①當OB=BC時，設B（-4，y₁），列出方程，解方程求出y₁的值，將A，B兩點坐標代入y=ax²+bx，運用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式；②當OC=BC時，設C（2，y₂），列出方程，解方程求出y₂的值，將A，C兩點坐標代入y=ax²+bx，運用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式．

解答：解：（1）如圖，過點D作DF⊥x軸于點F．
由題意，可知OF=AF，則2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴

AF

AE

=

AD

AB

=

1

2

，即AE=2AF②，
①與②聯(lián)立，解得AE=2，AF=1，
∴點A的坐標為（-2，0）；

（2）∵拋物線過原點（0，0），
∴可設此拋物線的解析式為y=ax²+bx．
∵拋物線過原點（0，0）和A點（-2，0），
∴對稱軸為直線x=

-2+0

2

=-1，
∵B、C兩點關于直線x=-1對稱，B點橫坐標為-4，
∴C點橫坐標為2，
∴BC=2-（-4）=6．
∵拋物線開口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴當△OBC是等腰三角形時，分兩種情況討論：
①當OB=BC時，設B（-4，y₁），
則16+

y

2 1

=36，解得y₁=±2

5

（負值舍去）．
將A（-2，0），B（-4，2

5

）代入y=ax²+bx，
得

4a-2b=0 16a-4b=2 5

，解得

a= 5 4 b= 5 2

．
∴此拋物線的解析式為y=

5

4

x²+

5

2

x；
②當OC=BC時，設C（2，y₂），
則4+

y

2 2

=36，解得y₂=±4

2

（負值舍去）．
將A（-2，0），C（2，4

2

）代入y=ax²+bx，
得

4a-2b=0 4a+2b=4 2

，解得

a= 2 2 b= 2

．
∴此拋物線的解析式為y=

2

2

x²+

2

x．
綜上可知，若△OBC是等腰三角形，此拋物線的函數(shù)關系式為y=

5

4

x²+

5

2

x或y=

2

2

x²+

2

x．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到二次函數(shù)的對稱性，相似三角形的判定與性質(zhì)，運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，兩點間的距離公式等知識，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．