Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x軸上，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)表達(dá)式為y=-

1

18

x2+

4

9

x+10．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如果在梯形OABC內(nèi)有一矩形MNPO，使M在y軸上，N在BC邊上，P在OC邊上，當(dāng)MN為多少時(shí)，矩形MNPO的面積最大？最大面積是多少？
（3）若用一條直線(xiàn)將梯形OABC分為面積相等的兩部分，試說(shuō)明你的分法．

Answer 1

（1）由圖形得，點(diǎn)A橫坐標(biāo)為0，將x=0代入y=-

1

18

x2+

4

9

x+10，
得y=10，
∴A（0，10）
∵AB∥OC，
∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為10，將y=10代入拋物線(xiàn)表達(dá)式得，
10=-

1

18

x2+

4

9

x+10，
∴x₁=0，x₂=8．
∵B點(diǎn)在第一象限，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，10）
∵C點(diǎn)在x軸上，
∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，將y=0代入拋物線(xiàn)表達(dá)式得，
-

1

18

x2+

4

9

x+10=0
解得x₁=-10，x₂=18．
∵C在原點(diǎn)的右側(cè)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（18，0）． （4分）
（2）法一：過(guò)B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，則Rt△BNH∽Rt△BCQ，
∴

BH

BQ

=

HN

QC

． （5分）
設(shè)MN=x，NP=y，則有

10-y

10

=

x-8

18-8

．
∴y=18-x． （6分）
∴S_矩形MNOP=xy=x（18-x）=-x²+18x=-（x-9）²+81．
∴當(dāng)x=9時(shí)，有最大值81．
即MN=9時(shí)，矩形MNPO的面積最大，最大值為81． （8分）

法二：過(guò)B作BQ⊥x軸于Q，則Rt△CPN∽Rt△CQB，
∴

CP

CQ

=

NP

BQ

．
設(shè)MN=x，NP=y，則有

18-x

18-8

=

y

10

．
∴y=18-x．
∴S_矩形MNOP=xy=x（18-x）=-x²+18x=-（x-9）²+81．
∴當(dāng)x=9時(shí)，有最大值81．
即MN=9時(shí)，矩形MNPO的面積最大，最大值為81．
法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，解答過(guò)程與法二相同．
法四：過(guò)B點(diǎn)作BQ⊥x軸于Q，則Rt△BQC∽Rt△NPC，
QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，
∴△BQC為等腰直角三角形，
∴△NPC為等腰直角三角形．
設(shè)MN=x時(shí)矩形MNPO的面積最大．
∴PN=PC=OC-OP=18-x．
∴S_矩形MNOP=MN•PN=x（18-x）=-x²+18x=-（x-9）²+81．
∴當(dāng)x=9時(shí)，有最大值81．
即MN=9時(shí)，矩形MNPO的面積最大，最大值為81．
（3）①對(duì)于任意一條直線(xiàn)，將直線(xiàn)從直角梯形的一側(cè)向另一側(cè)平移的過(guò)程中，總有一個(gè)位置使得直線(xiàn)將該梯形面積分割
成相等的兩部分．

②過(guò)上、下底作一條直線(xiàn)交AB于E，交OC于F，且滿(mǎn)足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底與下底的和為13即可． （4分）

③構(gòu)造一個(gè)三角形，使其面積等于整個(gè)梯形面積的一半，因此有：
△OCP₁，P1(0，

65

9

)；△OCP₂，P2(

97

9

，

65

9

)；△OAP₃，P₃（13，0）；△CBP₄，P₄（5，0）；
④平行于兩底的直線(xiàn)，一定會(huì)有其中的一條將原梯形分成面積相等的兩部分；