長(zhǎng)方形四邊的長(zhǎng)度都是小于10的整數(shù)(單位:厘米),這四個(gè)長(zhǎng)度數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)四位數(shù),這個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字相同,并且這個(gè)四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù),求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積.
分析:此題可設(shè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為xcm、ycm,則四位數(shù)N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
可證得x+y=11,從而得出9x+1是一個(gè)完全平方數(shù),經(jīng)試算即可解答.
解答:解:設(shè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為xcm、ycm,
則四位數(shù)N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
∵N是一個(gè)完全平方數(shù),11為質(zhì)數(shù),∴x+y能被11整除,
又∵1≤x≤9,1≤y≤9∴2≤x+y≤18,得x+y=11
∴N=11(99x+x+y)=112(9x+1)∴9x+1是一個(gè)完全平方數(shù),
經(jīng)試算知當(dāng)x=7時(shí)滿足條件,故y=4,從而長(zhǎng)方形的面積=7×4=28cm2
點(diǎn)評(píng):此題主要考查完全平方數(shù)的特征,正確列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵.
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