Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，對稱軸為直線，直線AD交拋物線于點D（2，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點M為第三象限內(nèi)拋物線上的一動點，當(dāng)點M在什么位置時四邊形AMCO的面積最大？并求出最大值；

（3）當(dāng)四邊形AMCO面積最大時，過點M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為.　

(2) 當(dāng)點M為(－2，－3)時四邊形AMCO面積有最大值，最大值為8．

(3) 存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓，點Q的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．　　

【解析】

試題分析：（1）由待定系數(shù)法即可得；

（2）連接OM，則四邊形AMCO可分為兩個三角形，設(shè)M點的坐標(biāo)，則可表示出兩個三角形的面積，進(jìn)而可得到面積的最大值

（3）可以先假設(shè)存在這樣的點，然后根據(jù)題中的條件進(jìn)行計算即可

試題解析：（1）∵拋物線的對稱軸是直線,

∴，解得.

∵拋物線經(jīng)過D(2,3),

∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

（2）拋物線的解析式為：,

令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0， -2）．

令y＝0，得x＝﹣4或1，∴A(-4，0)、B（1，0）．

設(shè)點M坐標(biāo)為(m，)，連接MO．

則S四邊形AMCO＝S△AMO＋S△CMO

＝

＝

∴當(dāng)m＝﹣2時，＝－3

∴當(dāng)點M為(－2，－3)時四邊形AMCO面積有最大值，最大值為8．　　

（3）假設(shè)存在這樣的⊙Q．

設(shè)直線x＝﹣2與x軸交于點G，與直線BC交于點F．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，

將B（1，0）、C（0，﹣2）代入得：

，解得：k＝2，b＝﹣2，

∴直線BC解析式為：y＝2x﹣2，

令x＝﹣2，得y＝﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF＝6．

在Rt△BGF中，由勾股定理得：

,

設(shè)Q（﹣2，n），則在Rt△QGO中，由勾股定理得：

.

設(shè)⊙Q與直線BC相切于點E，則QE＝OQ＝．

在Rt△BGF與Rt△QEF中，

∵∠BGF＝∠QEF＝90°，∠BFG＝∠QFE，

∴Rt△BGF∽Rt△QEF.

∴，即.

化簡得：n2﹣3n﹣4＝0，解得n＝4或n＝﹣1．

∴存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓，點Q的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．

考點：1、待定系數(shù)法；2、二次函數(shù)的性質(zhì)；3、勾股定理；4、切線的性質(zhì)