Question

（2009•湖州）已知圖中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中任意畫(huà)一條拋物線，問(wèn)所畫(huà)的拋物線最多能經(jīng)過(guò)81個(gè)格點(diǎn)中的多少個(gè)（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

Answer 1

【答案】分析：建立如圖坐標(biāo)系，水平為x軸，豎直為y軸，設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，要使得點(diǎn)最多，取整數(shù)點(diǎn)（0，1），（1，1），（2，2）代入拋物線的解析式，求出a、b、c的值，再把各整數(shù)格點(diǎn)代入求解即可．
解答：解：由題意，建立如圖坐標(biāo)系，水平為x軸，豎直為y軸，
設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，
要使得格點(diǎn)最多，拋物線如圖所示：
取整數(shù)點(diǎn)D（0，1），E（1，1），F(xiàn)（2，2）代入拋物線的解析式得，
1=a×0²+0×b+c，
1=a×1²+1×b+c，
2=a×2²+2b+c，
解得a=，b=，c=1，
故y=x²-x+1，
∴A（-3，7）；B（-2，4）；C（-1，2）；D（0，1）；E（1，1）
F（3，4）；G（3，4）；H（4，7）共8個(gè)．
建立坐標(biāo)系的方法：設(shè)方格左下角為（0，0），沿著方格的邊沿建立直角坐標(biāo)系．
取拋物線為y=（x-3）（x-4），
則它能經(jīng)過(guò)8個(gè)格點(diǎn)：（0，6），（1，3），（2，1），（3，0），（4，0），（5，1），（6，3），（7，6）．
對(duì)于任意的二次函數(shù)，如果我們依次考察x=0，1，2，…，8時(shí)的值，并依次用后一個(gè)值減去前一個(gè)值，總得到一個(gè)等差數(shù)列．要使經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)盡量多，則這個(gè)等差數(shù)列的公差要盡量小，且為整數(shù)． 因此，令公差為1，這相當(dāng)于取二次項(xiàng)系數(shù)為．
驗(yàn)證：如果拋物線經(jīng)過(guò)9個(gè)格點(diǎn)，那么在拋物線的頂點(diǎn)及一側(cè)至少經(jīng)過(guò)5個(gè)格點(diǎn)，由于這5個(gè)格點(diǎn)的橫坐標(biāo)都差1，考慮到拋物線的遞增或遞減趨勢(shì)，這5點(diǎn)的縱坐標(biāo)的極差不小于1+2+3+4=10，顯然這5個(gè)格點(diǎn)不全在8×8網(wǎng)格之內(nèi)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道新穎題，定義了一個(gè)格點(diǎn)的概念，思路比較開(kāi)放，要建立合適的坐標(biāo)系來(lái)找最多格點(diǎn)，考查了拋物線的基本性質(zhì)．