Question

關(guān)于x的方程x²-（5k+1）x+k²-2=0，是否存在負(fù)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存在，求出滿足條件的k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：把倒數(shù)和進(jìn)行通分整理，等量關(guān)系為：倒數(shù)和等于4．即

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=4．再把兩根關(guān)系代入即可．

解答：解：根據(jù)題意，得
x₁+x₂=5k+1，x₁×x₂=k²-2．
∵

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

5k+1

k2-2

=4．
∴4k²-8=5k+1．
解得k₁=

9

4

，k₂=-1．
經(jīng)檢驗(yàn)

9

4

和-1都是方程的根．
當(dāng)k₁=

9

4

，k₂=-1，代入方程x²-（5k+1）x+k²-2=0的判別式時(shí)，△＞0，
所以存在負(fù)數(shù)k=-1，滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是把所求的代數(shù)式整理成與根與系數(shù)有關(guān)的形式．