Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4以Rt△ABC的三邊向外作正方形ADEB、ACGH、CBKF，可得一“勾股圖”．再作△PQR，使得∠R=90°，點H在邊QR上，點D、E在邊PR上，點G、F在邊PQ上，那么△PQR的周長等于

27+13

3

．

Answer 1

分析：在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，進而由等邊三角形的性質和正方形的性質及三角函數(shù)就可求得QR的長，在直角△QRP中運用三角函數(shù)即可得到RP、QP的長，就可求出△PQR的周長．

解答：解：延長BA交QR于點M，連接AR，AP．
∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等邊三角形．
AC=AB•cos30°=4×

3

2

=2

3

，
則QH=HA=HG=AC=2

3

，
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2

3

×

3

2

=3，AM=HA•cos60°=

3

，
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．
∴QR=2

3

+3+4=7+2

3

，
∴QP=2QR=14+4

3

，
PR=QR•

3

=6+7

3

，
∴△PQR的周長等于RP+QP+QR=27+13

3

，
故答案為：27+13

3

．

點評：考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，正確運用三角函數(shù)以及勾股定理是解決本題的關鍵．