Question

設凸四邊形O₁O₂O₃O₄的周長為l，以頂點O₁，O₂，O₃，O₄為圓心作四個半徑為R的圓輪．如果帶動四個圓輪轉動的皮帶長為s，求s的長度（如圖）．

Answer 1

分析：根據題意，皮帶長等于凸四邊形O₁O₂O₃O₄的周長再加上一個圓的周長．

解答：解：（1）先解一個特例（如圖）．設只有兩個圓輪⊙O₁，⊙O₂，2|O₁O₂|=l'．
顯然，帶動兩輪轉動的皮帶長度為
s=l'+2πR．


（2）再回到原題，我們猜想：
s=l+2πR．
以下證實這個猜想是正確的．
為此，設皮帶s與各圓輪接觸的四個弧為

A1A8

，

A2A3

，

A4A5

，

A6A7

由于它們是等圓上的弧，因此，只要證出這四條弧恰好組成一個圓即可．
事實上，引O₁A'₃∥O₂A₃，由于O₁A₁∥O₂A₂，所以∠A₁O₁A'=∠A₂O₂A₃，∴

A1A3′

=

A2A3

．同理，
引O₁A′₆∥O₄A₆，則

A8A6′

=

A7A6

．又由于∥O₂A₃，O₂A₃∥O₁A₃′∴O₃A₄∥O₁A₃′．同理，O₃A₅∥O₁A′，∴∠A₄O₃A₅=∠A′₃O₁A′₆，∴

A4A5

=

A′3A′6

∴這四段弧恰好組成一個以O₁為圓心，以R為半徑的圓．因此，四圓弧之長為2πR．又因為O₁O₂=A₁A₂，O₂O₃=A₃A₄，O₃O₄=A₅A₆，O₁O₄=A₇A₈，所以
l=A₁A₂+A₃A₄+A₅A₆+A₇A₈．
所以，所求皮帶長為s=l+2πR．

點評：本題考查了弧長的有關計算，把握好弧長公式是解決此題的關鍵．