Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA=PB．

(1)求證：PB是⊙O的切線；

 (2)已知PA=，BC=1，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

(1)證明：連結OB．

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．

∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA．

∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，即∠PAO=∠PBO

又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°，

∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB．

又∵OB是⊙O半徑，∴PB是⊙O的切線．

(2)解：連結OP，交AB于點D．

∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．

∵OA=OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上．

∴OP垂直平分線段AB． ∴∠PAO=∠PDA=90°．

又∵∠APO=∠DPA，∴△APO∽△DPA．

∴，∴AP²=PO·DP．　

又∵OD=BC=，∴ PO(PO-OD)=AP²

即：PO ²一PO=()²，解得PO=2．

在Rt△APO中，OA= =1，即⊙O 的半徑為l