一個直角三角形的邊長都是整數(shù),它的面積和周長的數(shù)值相等.試確定這個直角三角形三邊的長.
解:假設(shè)符合條件的直角三角形存在,它的三邊長為a、b、c,其中c為斜邊,則
a
2+b
2=c
2,a+b+c=
,
∵a、b、c均為正整數(shù),
∴a≠b;不妨設(shè)a>b,則有a+b+
=
,
兩邊平方,并整理得,
-a
2b-ab
2+2ab=0,
消去ab,得
-a-b+2=0,即(a-4)(b-4)=8,
又∵8=1×8=2×4,
∴①a-4=8,b-4=1,解得:a=12,b=5,則c=13;
②a-4=4,b-4=2,解得:a=8,b=6,則c=10;
綜上所述,符合條件的直角三角形的邊長分別是5、12、13;6、8、10.
分析:設(shè)符合條件的直角三角形的三邊長為a、b、c,其中c為斜邊,則a
2+b
2=c
2,a+b+c=
,于是將存在性問題的討論轉(zhuǎn)化為求方程組的解.
點評:本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根及有理根、勾股定理的逆定理的應(yīng)用.在解題過程中,當勾股定理不能直接運用時,常需要通過等線段的代換、作輔助垂線等途徑,為勾股定理的運用創(chuàng)造必要的條件,有時又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系,這就需要熟悉一些常用的勾股數(shù)組.