Question

如圖，正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M，已知△AOM的面積為1，點B（-1，t）為反比例函數(shù)在第三象限圖象上的點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）試求出點A、點B的坐標(biāo)；
（3）在y軸上求一點P，使|PA-PB|的值最大．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（m，n），A在正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象上，可得到n=

1

2

m，進而得到A（m，

1

2

m），再根據(jù)△AOM的面積為1，可以求出m的值，進而得到A點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法算出反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式，把B點坐標(biāo)代入即可算出t的值，進而得到B點坐標(biāo)；
（3）作點A關(guān)于直線y的對稱點A′，作直線A′B交y于P點，則點P為所求點，求出P點坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)A（m，n），
∵A在正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象上，
∴n=

1

2

m，
∴A（m，

1

2

m），
∴AM=

1

2

m，OM=m，
∵△AOM的面積為1，
∴

1

2

×

1

2

m×m=1，
解得：m=±2，
∵A在第一象限，
∴m=2，
∴A（2，1），
∵A點在反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函數(shù)關(guān)系式為：y=

2

x

；

（2）∵點B（-1，t）為反比例函數(shù)y=

2

x

在第三象限圖象上的點，
∴t=

2

-1

=-2，
∴B（-1，-2）；

（3）作點A關(guān)于直線y的對稱點A′，作直線A′B交y于P點，則點P為所求點，
∵A（2，1），
∴A′（-2，1），
設(shè)A′B的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∵圖象過A′（-2，1），B（-1，-2），
∴

-2k+b=1 -k+b=-2

，
解得：

k=-3 b=-5

，
∴A′B的函數(shù)解析式為y=-3x-5，
∴P（0，-5 ）．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，最短線路問題，解答此題的難點是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形，再由兩點之間線段最短的知識求解．