Question

如圖，在直角坐標系中，⊙O的圓心O在坐標原點，直徑AB=8，點P是直徑AB上的一個動點（點P不與A、B兩點重合），過點P的直線PQ的解析式為y=x+m，當直線PQ交y軸于Q，交⊙O于C、D兩點時，過點C作CE垂直于x軸交⊙O于點E，過點E作EG垂直于y軸，垂足為G，過點C作CF垂直于y軸，垂足為F，連接DE．
（1）點P在運動過程中，sin∠CPB=________；
（2）當m=3時，試求矩形CEGF的面積；
（3）當P在運動過程中，探索PD²+PC²的值是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請你說明理由；如果不發(fā)生變化，請你求出這個不變的值；
（4）如果點P在射線AB上運動，當△PDE的面積為4時，請你求出CD的長度．

Answer 1

解：（1）∵過點P的直線PQ的解析式為y=x+m，
∴圖象與x軸交點坐標的為：（-m，0），圖象與y軸交點坐標的為：（0，m），
∴QO=PO，∠POQ=90°，
∴∠CPB=45°，
則sin∠CPB=．
故答案為：；

（2）∵∠CPB=45°，
∴∠CQF=∠PQO=45°，
∴FC=FQ，
設(shè)FC=FQ=a，
則OF=a+3，
如圖1，連接OC，
在Rt△OCF中，F(xiàn)C²+OF²=OC²?a²+（a+3）²=4²?2a²+6a=7，
∴S_{四邊形CEGF}=CF×2FO=a×2（a+3）=7；

（3）不變．
∵AB垂直平分CE，
∴PC=PE，且∠CPB=∠EPH=45°，
∴PE⊥CD，
∴PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，
∵∠PCH=45°，
∴=90°，
∴DO⊥EO，
∴DE=OD=4，
∴PD²+PC²=32；

（4）當點P在直徑AB上時，S_△PDE=PD×PE=PD×PC=4，PD×PC=8，
又∵PD²+PC²=32，
∴CD²=（PD+PC）²=32+16=48，CD=4，
如圖2，當點P在AB延長線上，
同理可得：CD²=（PD-PC）²=32-16=16，
開方得：CD=4．
綜上，CD的長為或4．
分析：（1）利用圖象與x，y軸交點坐標得出QO=PO，從而得出∠CPB的度數(shù)，計算出sin∠CPB的值即可；
（2）利用勾股定理求出CF，F(xiàn)O的長度，求出矩形CEGF的面積即可；
（3）根據(jù)PC²+PD²=PD²+PE²=DE²，得出即可；
（4）分別從當點P在直徑AB上時，以及當點P在線段AB的延長線上時得出CD與CM的長度關(guān)系，進而求出即可．
點評：此題主要考查了圓的綜合題，三角形的面積以及平方差公式應(yīng)用以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（4）中，要根據(jù)P點的不同位置進行分類求解．