Question

如圖，已知四邊形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3．
（1）求直線BM的解析式；
（2）求過A、M、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PMB構(gòu)成以BM為直角邊的直角三角形？若沒有，請說明理由；若有，則求出一個(gè)符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)O=MD=4，MC=3，
∴M、A、B的坐標(biāo)分別為（0，4），（-4，0），（3，0）
設(shè)BM的解析式為y=kx+b；
則，
∴BM的解析式為y=-x+4．

（2）方法一：
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
則，
解得a=b=-，c=4
∴y=-x²-x+4
方法二：
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-3）
將M（0，4）的坐標(biāo)代入得a=-
∴y=-（x+4）（x-3）=-x²-x+4

（3）設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使△PMB構(gòu)成直角三角形．
①過M作MB的垂線與拋物線交于P，過P作PH⊥DC交于H，
∴∠PMB=90°，
∴∠PMH=∠MBC，
∴△MPH∽△BMC，
∴PH：HM=CM：CB=3：4
設(shè)HM=4a（a＞0），則PH=3a
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4a，4-3a）
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x²-x+4得：
4-3a=-（-4a）²-×（-4a）+4
解得a=0（舍出），，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
②或者，拋物線上存在點(diǎn)P，使△PMB構(gòu)成直角三角形．
過M作MB的垂線與拋物線交于P，設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
由∠PMB=90°，∠PMD=∠MBC，
過P作PH⊥DC交于H，則MH=-x₀，PH=4-y₀
∴由tan∠PMD=tan∠MBC
得，
∴
∴，x₀=0（舍出）
∴，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
類似的，如果過B作BM的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，
設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
同樣可求得，
由=，x₀=3（舍出）
這時(shí)P的坐標(biāo)為（）．
分析：（1）（2）根據(jù)MO=MD=4，MC=3就可以求出A、M、B三點(diǎn)的作坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線BM的解析式與拋物線的解析式．
（3）過M、B作MB的垂線，它與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，因而符合條件的P點(diǎn)是存在的．當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，過P作PH⊥DC交于H，則
易證△MPH∽△BMC，得到PH：HM=CM：CB=3：4，因而可以設(shè)HM=4a（a＞0），則PH=3a，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4a，4-3a）．
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x²-x+4就可以求出a的值，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．是函數(shù)與相似三角形相結(jié)合的綜合題．