如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)D、E在邊BC上∠CAE=∠B,E是CD的中點(diǎn),BD=AD,且AD平分∠BAE.
①當(dāng)∠BAC=90°時(shí),求證BD=AC;
②當(dāng)∠BAC≠90°時(shí),是否依然有BD=AC?說(shuō)明理由.
證明:①∵在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠C, 在△ACE中,∠AEC=180°-∠CAE-∠C, 又∵∠CAE=∠B, ∴∠AEC=∠BAC=90°, ∴AE⊥CD. 在△ACE和△ADE中, ∴△ACE≌△ADE(SAS). ∴AC=AD. 又∵AD=BD,∴BD=AC. ②BD=AC仍然成立. 延長(zhǎng)AE到點(diǎn)F,使EF=AE,連接DF. 在△ACE和△FDE中, ∴△ACE≌△FDE(SAS). ∴AC=DF,∠CAE=∠F, 又∵∠CAF=∠B,所以∠F=∠B, 在△ADF和△ADB中, ∴△ADF≌△ADB(AAS). ∴BD=DF,∴AC=BD.
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①欲證BD=AC,題目中已有BD=AD,故只須證AD=AC,從而證明△ADE≌△ACE即可. |
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