通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道利用面積的不同表示方法可以寫出一個(gè)代數(shù)恒等式，比如圖1的圖形，我們可以把它看成長(zhǎng)為（b+c），寬為a的長(zhǎng)方形，則圖形的面積為
a（b+c）
a（b+c）
，我們也可以把它看成是兩個(gè)長(zhǎng)方形組成的圖形，則此時(shí)，它的面積可以表示為
ab+ac
ab+ac
，所以我們可以得到等式
a（b+c）=ab+ac
a（b+c）=ab+ac

（1）圖2的圖形蘊(yùn)涵著一個(gè)著名定理，請(qǐng)你運(yùn)用面積不同的表達(dá)方式推導(dǎo)出這個(gè)定理．
（2）在圖3中，試畫一個(gè)幾何圖形，使它的面積能夠表示：（a+b）2=a2+2ab+b2（把圖形作在方格中）
分析：根據(jù)矩形的面積公式寫出即可；
（1）利用大正方形的面積的從整體與局部?jī)煞N思路寫出即可得解；
（3）作一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，然后把正方形分成四部分．
解答：解：a（b+c），ab+ac，a（b+c）=ab+ac；

（1）證明：正方形的面積：（a+b）2，
正方形的面積也可以表示為：4×
1
2
ab+c2，
所以，4×
1
2
ab+c2=（a+b）2，
即c2=a2+b2；

（2）如圖所示，正方形的面積可以表示為：（a+b）2，
也可以表示為a2+2ab+b2，
所以，（a+b）2=a2+2ab+b2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的證明，比較簡(jiǎn)單，結(jié)合圖形，把圖形的面積從整體與局部?jī)蓚�(gè)方面表示出面積即可得證．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

（2013•青島）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問(wèn)題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）
十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果
十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果
．
【研究方程】
提出問(wèn)題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）2或四個(gè)長(zhǎng)x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積．
即（x+x+2）2=4x（x+2）+22
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）2=4×35+22
∴（2x+2）2=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）
【研究不等關(guān)系】
提出問(wèn)題：怎樣運(yùn)用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長(zhǎng)y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點(diǎn)部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當(dāng)a＞2，b＞2時(shí)，表示ab與a+b的大小關(guān)系．
根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試（山東青島卷）數(shù)學(xué)（解析版） 題型：解答題

在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式

這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因集合直觀而形象化。

【研究速算】

提出問(wèn)題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？

幾何建模：

用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：

（1）畫長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。

（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47×43的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果。

歸納提煉：

兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）        .

【研究方程】

提出問(wèn)題：怎么圖解一元二次方程

幾何建模：

（1）變形：

（2）畫四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，構(gòu)造圖④

（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，或四個(gè)長(zhǎng)，寬的矩形之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積

即：

∵

∴

∴

∵

∴

歸納提煉：求關(guān)于的一元二次方程的解

要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長(zhǎng)）

【研究不等關(guān)系】

提出問(wèn)題：怎么運(yùn)用矩形面積表示與的大小關(guān)系（其中）？

幾何建模：

（1）畫長(zhǎng)，寬的矩形，按圖⑤方式分割

（2）變形：

（3）分析：圖⑤中大矩形的面積可以表示為；陰影部分面積可以表示為，

畫點(diǎn)部分的面積可表示為，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知：＞，即

＞

歸納提煉：

當(dāng)，時(shí)，表示與的大小關(guān)系

根據(jù)題意，設(shè)，，要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長(zhǎng)）

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道利用面積的不同表示方法可以寫出一個(gè)代數(shù)恒等式，比如圖1的圖形，我們可以把它看成長(zhǎng)為（b+c），寬為a的長(zhǎng)方形，則圖形的面積為______，我們也可以把它看成是兩個(gè)長(zhǎng)方形組成的圖形，則此時(shí)，它的面積可以表示為______，所以我們可以得到等式______
（1）圖2的圖形蘊(yùn)涵著一個(gè)著名定理，請(qǐng)你運(yùn)用面積不同的表達(dá)方式推導(dǎo)出這個(gè)定理．
（2）在圖3中，試畫一個(gè)幾何圖形，使它的面積能夠表示：（a+b）2=a2+2ab+b2（把圖形作在方格中）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道利用面積的不同表示方法可以寫出一個(gè)代數(shù)恒等式，比如圖1的圖形，我們可以把它看成長(zhǎng)為（b+c），寬為a的長(zhǎng)方形，則圖形的面積為______，我們也可以把它看成是兩個(gè)長(zhǎng)方形組成的圖形，則此時(shí)，它的面積可以表示為______，所以我們可以得到等式______
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（1）圖2的圖形蘊(yùn)涵著一個(gè)著名定理，請(qǐng)你運(yùn)用面積不同的表達(dá)方式推導(dǎo)出這個(gè)定理．
（2）在圖3中，試畫一個(gè)幾何圖形，使它的面積能夠表示：（a+b）2=a2+2ab+b2（把圖形作在方格中）

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同步練習(xí)冊(cè)答案