Question

已知拋物線． (1) 求證此拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； (2) 若m是整數(shù)，拋物線與x軸交于整數(shù)點(diǎn)，求m的值； (3) 在(2)的條件下，設(shè)拋物線頂點(diǎn)為A，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn)為B．若M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且MA=MB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	如圖答所示，(1)證明：令y=0，則．因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30RH/0018/0012/92279fbc866448cfba5a9bec78222050/C/Image64.gif" width=218 height=24>，所以，此拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
(2)	因?yàn)殛P(guān)于x的方程的根為，由m為整數(shù)，當(dāng)為完全平方數(shù)時(shí)，此拋物線與x軸才有可能交于整數(shù)點(diǎn)．設(shè)(其中n為整數(shù))，所以[n＋(m－2)][n－(m－2)]=4．因?yàn)閚＋(m－2)與n－(m－2)的奇偶性相同，所以或解得m=2．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=2時(shí)，關(guān)于x的方程有整數(shù)根．所以m=2．
(3)	當(dāng)m=2時(shí)，此二次函數(shù)解析式為，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，－1)．拋物線與x軸的交點(diǎn)為O(0，0)、B(2，0)．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于，則(1，0)．在直角三角形中，由勾股定理，得，由拋物線的對稱性可得，．又，即．所以△ABO為等腰直角三角形．則．所以(1，0)為所求的點(diǎn)．若滿足條件的點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)坐標(biāo)為(0，y)．過A作AN⊥y軸于N，連結(jié)、．則．由勾股定理，有；．即．解得y=1．所以(0，1)為所求的點(diǎn)．綜上所述滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)或(0，1)．