Question

如圖，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D（3，0）和點(diǎn)E（0，4）．動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)M（5，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式分別表示出點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）以點(diǎn)C為圓心、

1

2

t個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的⊙C與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），連接PA、PB．
①當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍；
②當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得t秒時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5-t，縱坐標(biāo)為0；過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出PQ、DQ再求出OQ，從而得解；
（2）①當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，所用的時(shí)間是t的最小值，此時(shí)DC=OC-OD=5-t-3=

1

2

t，得到t≥

4

3

；
當(dāng)圓C在點(diǎn)D左側(cè)且與ED相切時(shí)，為t的最大值．
如圖，易得Rt△CDF∽R(shí)t△EDO，有

CF

4

=

3-(5-t)

5

，求解得到t的最大值．
②當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)，有三種情況：PA=AB，PA=PB，PB=AB．根據(jù)勾股定理，求得每種情況的t的值．

解答：解：（1）如圖，t秒時(shí)，有PD=t，DE=5，OE=4，OD=3，
則PQ：EO=DQ：OD=PD：ED，
∴PQ=

4

5

t，DQ=

3

5

t．
∴C（5-t，0），P(3-

3

5

t，

4

5

t)．

（2）
①當(dāng)⊙C的圓心C由點(diǎn)M（5，0）向左運(yùn)動(dòng)，使點(diǎn)A到點(diǎn)D并隨⊙C繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，
有5-

3

2

t≤3，即t≥

4

3

．
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)C作CF⊥射線DE，垂足為F，
則由∠CDF=∠EDO，
得△CDF∽△EDO，
則

CF

4

=

3-(5-t)

5

，
解得CF=

4t-8

5

．
由CF≤

1

2

t，即

4t-8

5

≤

1

2

t，解得t≤

16

3

．
∴當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為

4

3

≤t≤

16

3

．

②當(dāng)PA=AB時(shí)，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q．
有PA²=PQ²+AQ²=

16

25

t2+(5-

3

2

t-3+

3

5

t)2．
∴

29

20

t2-

18

5

t+4=t2，
即9t²-72t+80=0，
解得t1=

4

3

，t2=

20

3

．
當(dāng)PA=PB時(shí)，有PC⊥AB，此時(shí)P，C橫坐標(biāo)相等，
∴5-t=3-

3

5

t，
解得t₃=5；
當(dāng)PB=AB時(shí)，有
PB2=PQ2+BQ2=

16

25

t2+(5-

1

2

t-3+

3

5

t)2，
∴

13

20

t2+

2

5

t+4=t2，
即7t²-8t-80=0，
解得t4=4，t5=-

20

7

（不合題意，舍去）．
∴當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，t=

4

3

，或t=4，或t=5，或t=

20

3

．
又∵C是從M點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)的，故t=

4

3

，或t=4，或t=5或t=

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題為代數(shù)與幾何有一定難度的綜合題，它綜合考查了用變量t表示點(diǎn)的坐標(biāo)，直線（射線）與圓的位置關(guān)系，相似三角形和方程不等式等方面的知識(shí)．
重點(diǎn)考查學(xué)生是否認(rèn)真審題，挖掘出題中的隱含條件，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，以及運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想解決實(shí)際問題的能力．
由于本題入口平臺(tái)較高，不少學(xué)生在第（1）題中就畏縮不前，第（2）題中的第①題中，不少學(xué)生把射線DE誤為直線，在第（2）題中的第②題，分類討論不全面．