Question

18．如圖1，半圓O的半徑r=5cm，點N是半徑AO上的一個動點，N從點A出發(fā)，沿AO方向以1cm/s的速度向點O運動，過點N作MN⊥AB，交半圓O于點M，設(shè)運動時間為ts．
（1）當t等于多少時，MN=3cm？
（2）如圖2，以MN為邊在半圓O內(nèi)部作正方形MNPQ，使得點P落在AB上，點Q落在半圓內(nèi)（或半圓上），設(shè)正方形MNPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OM，由題意得AN=t、ON=5-t，由勾股定理知MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（5-t）^{2}}$=$\sqrt{-{t}^{2}+10t}$，根據(jù)MN=3可得關(guān)于t的方程，解之可得；
（2）由S=MN²可得函數(shù)解析式，如圖2，連接OM、OQ，證Rt△OMN≌Rt△OQP得ON=OP=$\frac{1}{2}$NP=$\frac{1}{2}$MN，即2ON=MN，從而得出關(guān)于t的方程，解之可得t的最大值，即可確定t的取值范圍．

解答 解：（1）如圖1，連接OM，

由題意知AN=t，
則ON=5-t，
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（5-t）^{2}}$=$\sqrt{-{t}^{2}+10t}$，
當MN=3時，得$\sqrt{-{t}^{2}+10t}$=3，
解得：t=1或t=9，
又t≤5，
∴t=1，
答：當t等于1時，MN=3cm；

（2）由（1）知，MN=$\sqrt{-{t}^{2}+10t}$，
∴S=MN²=-t²+10t，
如圖2，連接OM、OQ，

則OM=OQ，
在Rt△OMN和Rt△OQP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{MN=QP}\\{OM=OQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△OMN≌Rt△OQP，
∴ON=OP=$\frac{1}{2}$NP=$\frac{1}{2}$MN，即2ON=MN，
∴2（5-t）=$\sqrt{-{t}^{2}+10t}$，
解得：x=5+$\sqrt{5}$＞5（舍）或x=5-$\sqrt{5}$，
又∵x≥0，
∴0≤x≤5-$\sqrt{5}$，
故S=-t²+10t，（0≤x≤5-$\sqrt{5}$）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．