Question

（本題12分）拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當(dāng)△BDC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC=90°，請指出實數(shù)m的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

（1）
（3）  P（，）
（3）≤m≤5

試題分析：
解：
（1）由題意得：，解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）令，
∴x₁= -1，x₂=3，即B（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，
∴，解得：，
∴直線BC的解析式為，
設(shè)P（a，3-a），則D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
，
∴當(dāng)時，△BDC的面積最大，此時P（，）；
（3）由（1），y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
過C作CH⊥EF于H點，則CH=EH=1，

當(dāng)M在EF左側(cè)時，
∵∠MNC=90°，
則△MNF∽△NCH，
∴，
設(shè)FN=n，則NH=3-n，
∴，
即n²-3n-m+1=0，
關(guān)于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥，
當(dāng)M在EF右側(cè)時，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x軸于點M，則∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N為點E時，OM=5，
∴m≤5，
綜上，m的變化范圍為：≤m≤5．
點評：二次函數(shù)的應(yīng)用是中考的必考題型，考生在解此類問題時一定要注意分析求最大值和最小值所需要函數(shù)解決的問題。