Question

【題目】如圖，已知頂點(diǎn)為D的拋物線與x軸交于A(－1，0)，C(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)Q是該拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AQ＋QB最小時(shí)，直接寫(xiě)出直線AQ的函數(shù)解析式；

(3)若點(diǎn)P為拋物上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在x軸上方，過(guò)P作PK垂直x軸于點(diǎn)K，是否存在點(diǎn)P使得A,K,P三點(diǎn)形成的三角形與△DBC相似?如存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，；（2）直線的函數(shù)解析式為.（3）存在點(diǎn)或，使得點(diǎn)三點(diǎn)圍成的三角形與△DBC相似.

【解析】

（1）把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，c的值即可；

（2）由拋物線的對(duì)稱性找出點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，則AE的長(zhǎng)即為AQ+BQ的最小值，運(yùn)用待定系數(shù)法可求出AQ的解析式；

（3）先證明△DBC是直角三角形，設(shè)，則，再根據(jù)或列出比例式，得出關(guān)于t的方程，求解即可.

（1）∵拋物線與x軸交于A(－1，0)，C(3，0)兩點(diǎn)

∴ 根據(jù)題意，把A（-1，0），C（3，0）兩點(diǎn)代入，

得

解得

∴拋物線的解析式為

∵

∴

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴，

則點(diǎn)B 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）

連接AE，交拋物線對(duì)稱軸于Q，則AE即為AQ+QB的最小值，

設(shè)AQ的解析式為：y=kx+b,

把A（-1，0），E(2,3)代入得，，

解得，

∴最小時(shí)，直線的函數(shù)解析式為.

（3）過(guò)作垂直軸交于點(diǎn)，過(guò)作垂直于點(diǎn)，如圖，

在中，

∴，是直角三形，

∴,

若點(diǎn)三點(diǎn)圍成的三角形與△DBC相似，則或

則或

即或

設(shè)，則

得或

得或

解得，或（舍去），或

∴存在點(diǎn)或，使得點(diǎn)三點(diǎn)圍成的三角形與△DBC相似.