Question

如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，且OA=4，過A作AC⊥x軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于M，則△AMC的周長為（ ）

A．
B．3
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出線段OC和AC的長分別為b和a，表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)（b，a），由點(diǎn)A在雙曲線上，把A的坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)解析式中得到ab的值，再根據(jù)勾股定理，由OA的值表示出另一個(gè)關(guān)于a與b的關(guān)系式，然后利用完全平方公式表示出a+b的平方，將ab的值和表示出的關(guān)系式代入，開方即可求出a+b的值，又M為OA垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OM與MA相等，根據(jù)等量代換及線段相加得到三角形AMC的周長等于OC+AC，即為a+b的值．
解答：解：設(shè)AC=a，OC=b，故點(diǎn)A坐標(biāo)（b，a），
由點(diǎn)A在雙曲線上得：ab=2，根據(jù)勾股定理得：a²+b²=16，
則（a+b）²=a²+2ab+b²=16+4=20，
∴a+b=2，即OC+AC=2，
又∵OA的垂直平分線交OC于M，
∴OM=AM，
∴△AMC的周長C=AM+MC+AC=OM+MC+AC=OC+AC=2．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線定理，勾股定理及雙曲線的性質(zhì)的運(yùn)用．學(xué)生做題時(shí)注意利用整體代換及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題．