Question

如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接 AE.AC和BE相交于點O.

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；

（2）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AB于點Q，QR⊥BD，垂足為點R.

①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；

②當(dāng)線段BP的長為何值時，△PQR與△BOC相似？

Answer 1

【解析】
（1）四邊形ABCE是菱形．

∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，

∴EC∥AB，且EC=AB，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

又∵AB=BC，

∴四邊形ABCE是菱形；

（2）①四邊形PQED的面積不發(fā)生變化．

方法一：∵ABCE是菱形，

∴AC⊥BE，OC=AC=3，

∵BC=5，

∴BO=4，

過A作AH⊥BD于H，（如圖1）

∵，

即，

解得AH=．

或∵∠AHC=∠BOC=90°，∠BCA=∠BCA，

∴△AHC∽△BOC，

∴AH：BO=AC：BC，

即AH：4=6：5，

∴AH=．

由菱形的對稱性知，△PBO≌△QEO，

∴BP=QE，

∴

方法二：由菱形的對稱性知，△PBO≌△QEO，

∴，

∵△ECD是由△ABC平移得到的，

∴ED∥AC，ED=AC=6，

又∵BE⊥AC，

∴BE⊥ED，

∴

②方法一：如圖2，

當(dāng)點P在BC上運動，使△PQR與△COB相似時，

∵∠2是△OBP的外角，

∴∠2＞∠3，

∴∠2不與∠3對應(yīng)，

∴∠2與∠1對應(yīng)，

即∠2=∠1，

∴OP=OC=3

過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點，

∴△OGC∽△BOC，

∴CG：CO=CO：BC，

即CG：3=3：5，

∴CG=，

∴．

方法二：如圖3，

當(dāng)點P在BC上運動，使△PQR與△COB相似時，

∵∠2是△OBP的外角，

∴∠2＞∠3，

∴∠2不與∠3對應(yīng)，

∴∠2與∠1對應(yīng)，

∴QR：BO=PR：OC

即：4=PR：3，

∴PR=，

過E作EF⊥BD于F，設(shè)PB=x，則RF=QE=PB=x，

DF=，

∴BD=PB+PR+RF+DF=，

解得x=．

方法三：如圖4，

若點P在BC上運動，使點R與C重合，

由菱形的對稱性知，O為PQ的中點，

∴CO是Rt△PCQ斜邊上的中線，

∴CO=PO，

∴∠OPC=∠OCP，

此時，Rt△PQR∽Rt△CBO，

∴PR：CO=PQ：BC，

即PR：3=6：5，

∴PR=

∴PB=BC﹣PR=．

【解析】

試題分析：（1）四邊形ABCE是菱形．由平移得到四邊形ABCE是平行四邊形，又AB=BC，可以推出四邊形ABCE是菱形；

（2）①四邊形PQED的面積不發(fā)生變化．根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可以求出菱形的面積，過A作AH⊥BD于H，再根據(jù)三角形的面積公式可以求出AH，由菱形的對稱性知△PBO≌△QEO，所以BP=QE，現(xiàn)在可以得到，而△BED的面積可以求出，所以四邊形PQED的面積不發(fā)生變化．

②如圖2，當(dāng)點P在BC上運動，使△PQR與△COB相似時，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不與∠3對應(yīng)，∴∠2與∠1對應(yīng)，即∠2=∠1，∴OP=OC=3，過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點，△OGC∽△BOC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例可以求出CG，而PB=BC﹣PC=BC﹣2CG，根據(jù)這個等式就可以求出BP的長．

考點：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)