Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，把邊BA、CD分別繞點(diǎn)B、C同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得四邊形A′BCD′，其對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為O′，連接OD′．下列結(jié)論：
①四邊形A′BCD′為菱形；
②；
③線(xiàn)段OD′的長(zhǎng)為-1；
④點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O′的路徑是線(xiàn)段OO′．

其中正確的結(jié)論共有

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°以及正方形的四個(gè)角都是直角可得∠BCD′=30°，然后證明A′B∥CD′，進(jìn)而得到四邊形A′BCD′是平行四邊形，再根據(jù)A′B=BC，即可證明四邊形A′BCD′是菱形；
②根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°求出點(diǎn)B到A′D′的距離是A′B的一半，也就是AB的一半，然后根據(jù)正方形的面積公式以及菱形的面積即可證明；
③先求出OA′的長(zhǎng)度，再根據(jù)菱形的對(duì)邊相等，減去正方形的邊長(zhǎng)即可；
④根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)O以BC的中點(diǎn)為圓心，以BC的一半為半徑逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以得到點(diǎn)O′，所以路徑是弧而非線(xiàn)段．
解答：①根據(jù)題意，∠A′BA=∠D′CD=60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD′=30°，
∴∠A′BC+∠BCD′=60°+90°+30°=180°，
∴A′B∥CD′，
又∵A′B=CD′=AB，
∴四邊形A′BCD′是平行四邊形，
∵AB=BC（正方形的邊長(zhǎng)相等），
∴四邊形A′BCD′是菱形，故本題小題正確；
②∵∠ABA′=60°，AB=2，
∴點(diǎn)B到A′D′的距離是：A′B=AB=1，
∴S_{四邊形A′BCD}=BC•（A′B）=2×1=2，
S_{正方形ABCD}=BC•AB=2×2=4，
∴S_{四邊形A′BCD}=S_{正方形ABCD}，故本小題正確；
③∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴OA′=A′B•sin60°+BC=2×+×2=+1，
∴OD′=OA′-A′D′=+1-2=-1，故本小題正確；
④根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直可得△BCO′是直角三角形，
∴以BC的中點(diǎn)為圓心，以BC的一半為半徑，點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以到達(dá)點(diǎn)O′的位置，經(jīng)過(guò)路徑是弧而不是線(xiàn)段OO′，故本小題錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③共3個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，是綜合題目，但難度不大，仔細(xì)分析即可求解．