Question

直角三角形ABC周長為p，面積為s，其中∠C=90°．試用p和s表示線段AB的長度，并寫出以線段AC和BC的長度為兩根的一個一元二次方程．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意畫出三角形，再根據(jù)勾股定理、三角形的周長公式及面積公式得到關于AC、BC和AB的方程組，用p、s表示出線段AB、AC、BC的長度；

解答：解：∵直角三角形ABC周長為p，面積為s，其中∠C=90°，
∴

AC2+BC2=AB2① AC+BC+AB=p② 1 2 BC•AC=s③

，由②得，AC+BC=p-AB…④，把①變形為（AC+BC）²=AB²+2AC•BC，
把③④代入得，（p-AB）²=AB²+4s，解得AB=

p

2

-

2s

p

；
∵AB=

p

2

-

2s

p

，∴AC+BC=p-

p

2

+

2s

p

=

p

2

+

2s

p

，
∵AC•BC=2s，
∴以線段AC和BC的長度為兩根的一個一元二次方程可以為：x²-（

p

2

+

2s

p

）x+2s=0．

點評：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系及勾股定理、三角形的面積公式，根據(jù)題意列出關于直角三角形三邊的關系式是解答此題的關鍵．