Question

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．將其繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C邊與AB所在直線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥A'B'交CB'邊于點(diǎn)E，連接BE．
（1）如圖1，當(dāng)A'B'邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，α=______°；
（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若∠CBD的度數(shù)是∠CBE度數(shù)的m倍，猜想m的值并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑作⊙E，當(dāng)S=

1

3

S△ABC時(shí)，求AD的長(zhǎng)，并判斷此時(shí)直線A'C與⊙E的位置關(guān)系．

Answer 1

（1）當(dāng)A′B′過(guò)點(diǎn)B時(shí)，α=60°；

（2）猜想：①如圖1，點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，m=2；
②如圖2，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，m=4．
證明：①當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖1）．
∵DE∥A′B′，
∴

CD

CA′

=

CE

CB′

．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．
∴

CD

CA

=

CE

CB

．
∴△CAD∽△CBE．
∴∠A=∠CBE=30°．
∵點(diǎn)D在AB邊上，∠CBD=60°，
∴∠CBD=2∠CBE，即m=2．
②當(dāng)90°＜α＜120°時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上（如圖2）．
與①同理可得∠A=∠CBE=30°．
∵點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，∠CBD=180°-∠CBA=120°，
∴∠CBD=4∠CBE，
即m=4；

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=

3

，S△ABC=

3

2

．
由△CAD∽△CBE得

AD

AC

=

BE

BC

．
∵AD=x，
∴

x

3

=

BE

1

，BE=

3

3

x．
①當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，AD=x，BD=AB-AD=2-x，∠DBE=90°．
此時(shí)，S=S△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

(2-x)×

3 x

3

=

- 3 x2+2 3 x

6

．
當(dāng)S=

1

3

S△ABC時(shí)，

- 3 x2+2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x+1=0．
解得x₁=x₂=1，即AD=1．
此時(shí)D為AB中點(diǎn)，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE．（如圖3）

∴EC=EB．
∵∠A′CB′=90°，點(diǎn)E在CB′邊上，
∴圓心E到A′C的距離EC等于⊙E的半徑EB．
∴直線A′C與⊙E相切．
②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AD=x，BD=x-2，∠DBE=90°．（如圖2）.S=S△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

(x-2)×

3 x

3

=

3 x2-2 3 x

6

．
當(dāng)S=

1

3

S△ABC時(shí)，

3 x2-2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x-1=0．
解得x1=1+

2

，x2=1-

2

（負(fù)值，舍去）．
即AD=1+

2

．
此時(shí)∠BCE=α，而90°＜α＜120°，∠CBE=30°，
∴∠CBE＜∠BCE．
∴EC＜EB，即圓心E到A′C的距離EC小于⊙E的半徑EB．
∴直線A′C與⊙E相交．