Question

已知△ABC，以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如圖1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，則∠BFC=______；AB=3
（2）如圖2，若∠ABC=30°，△ACD是等邊三角形，BC=4．求BD的長；
（3）如圖3，若∠ACD為銳角，作AH⊥BC于H，當(dāng)BD²=4AH²+BC²時，判定∠DAC與∠ABC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵AE=AB，AD=AC，
∵∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
∴△AEC≌△ABD，
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠BFC=∠BEF+∠EBF，
∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，
故答案為：120°；

（2）如圖2，以A為頂點AB為邊在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，連接BE和CE．
∵△ACD是等邊三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等邊三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．

（3）∠DAC=2∠ABC成立，
以下證明：
如圖3，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC²=EB²+BC²=4AH²+BC²．
∵BD²=4AH²+BC²，
∴EC=BD．
∵K為BE的中點，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四邊形AKBH為平行四邊形．
又∵∠EBC=90°，
∴四邊形AKBH為矩形．
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分線．
∴AB=AE．
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD．
即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°，∠ABC為銳角，
∴∠ABC=90°-∠EBA．
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°-2∠EBA．
∴∠EAB=2∠ABC．
∴∠DAC=2∠ABC．
分析：（1）由題意可首先證明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的外角和定理即可求出∠BFC的度數(shù)；
（2）如圖2，在△ABC外作等邊△BAE，連接CE，利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC≌△BAD，可證∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；
（3）∠DAC=2∠ABC成立，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK，仿照（2）利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC≌△BAD，利用內(nèi)角和定理證明結(jié)論．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造全等三角形．