Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分別為CG、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：△AGD為正三角形；
（2）求EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證△BCG為等腰三角形，又∠BGC=∠AGD=60°，可證△AGD等邊三角形；
（2）已知BE為中線，故也是CG邊上的高，由此可得△ABE為直角三角形，而EF是斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知EF為AB的一半．
解答：（1）證明：連接BE，
∵梯形ABCD中，AB=DC，
∴AC=BD，可證△ABC≌△DCB，
∴∠GCB=∠GBC，
又∵∠BGC=∠AGD=60°
∴△AGD為等邊三角形，

（2）解：∵BE為△BCG的中線，
∴BE⊥AC，
在Rt△ABE中，EF為斜邊AB上的中線，
∴EF=AB=5cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形、直角三角形的判定與性質(zhì)，體現(xiàn)了梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題的解題思想．