Question

如圖，半徑不等的兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，線段CD經(jīng)過點(diǎn)A，且分別交兩于C、D兩點(diǎn)，連接BC、CD，設(shè)P、Q、K分別是BC、BD、CD中點(diǎn)M、N分別是弧BC和弧BD的中點(diǎn)．
求證：①

BP

PM

=

NQ

QB

；②△KPM∽△NQK．

Answer 1

分析：①先連接AB，BM，BN，由于M是

BC

的中點(diǎn)，P是BC的中點(diǎn)，那么弧BM等于

1

4

圓，易知MP⊥BC，∠BPM=90°，同理有NQ⊥BD，∠BQN=90°，再根據(jù)圓周角定理易證∠PBM=∠QNB，從而易證Rt△BPM∽R(shí)t△NQB，那么

BP

MP

=

NQ

BQ

；
②由于P、K是BC、CD中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可知KP∥BD，且KP=

1

2

BD=BQ，根據(jù)平行四邊形的判定易證
四邊形PBQK是平行四邊形，于是BP=KQ，BQ=KP，∠BPK=∠BQK，結(jié)合①的結(jié)論，等量代換有得

KQ

MP

=

NQ

KP

，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易證∠KPM=∠NQK，從而可證△KPM∽△NQK．

解答：證明：①如圖：連接AB，BM，BN，
∵M(jìn)是

BC

的中點(diǎn)，P是BC的中點(diǎn)，
∴MP⊥BC，∠BPM=90°，
同理NQ⊥BD，∠BQN=90°，
∴∠PBM=

1

2

∠CAB=

1

2

（180°-∠DAB）=90°-

1

2

∠DAB=90°-∠NBD=∠QNB，
∴Rt△BPM∽R(shí)t△NQB，
∴

BP

MP

=

NQ

BQ

；

②∵P、K是BC、CD中點(diǎn)，
∴KP∥BD，且KP=

1

2

BD=BQ，
∴四邊形PBQK是平行四邊形，
∴BP=KQ，BQ=KP，∠BPK=∠BQK，
由①得

KQ

MP

=

NQ

KP

，
又∵∠KPM=∠KPB+90°=∠KQB+90°=∠NQK，
∴△KPM∽△NQK．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了

1

4

圓周所對(duì)的圓心角等于90°、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理．