Question

如圖1，拋物線y=x²+x-4與y軸交于點A，E（0，b）為y軸上一動點，過點E的直線y=x+b與拋物線交于點B、C．
（1）求點A的坐標；
（2）當b=0時（如圖2），求△ABE與△ACE的面積．
（3）當b＞-4時，△ABE與△ACE的面積大小關系如何？為什么？
（4）是否存在這樣的b，使得△BOC是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）將x=0，代入拋物線的解析式得：y=-4，
得點A的坐標為（0，-4），
答：點A的坐標為（0，-4）．

（2）當b=0時，直線為y=x，
由，
解得，，
∴B、C的坐標分別為B（-2，-2），C（2，2），
，，
答：△ABE的面積是4，△ACE的面積是4．

（3）當b＞-4時，S_△ABE=S_△ACE，
理由是：由，
解得，，
∴B、C的坐標分別為：
B（-，-+b），C（，+b），
作BF⊥y軸，CG⊥y軸，垂足分別為F、G，
則，
而△ABE和△ACE是同底的兩個三角形，
∴S_△ABE=S_△ACE．
答：當b＞-4時，△ABE與△ACE的面積大小關系是相等．

（4）存在這樣的b，
∵BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，
∴△BEF≌△CEG，
∴BE=CE，
即E為BC的中點，
所以當OE=CE時，△OBC為直角三角形，
∵B（-，-+b），E（0，b），
∴GE=EF=|-（+b）+b|==CG
GE=GC=，
∴，而OE=|b|，
∴，
解得b₁=4，b₂=-2，
∴當b=4或-2時，△OBC為直角三角形，
答：存在這樣的b，使得△BOC是以BC為斜邊的直角三角形，b的值是4或-2．
分析：（1）將x=0，代入拋物線的解析式即可；
（2）當b=0時，直線為y=x，解由y=x和y=x²+x-4組成的方程組即可求出B、C的坐標，再利用三角形的面積公式即可求出面積；
（3）當b＞-4時，△ABE與△ACE的面積相等，理由是解由直線和拋物線組成的方程組，即可求出交點的坐標，作BF⊥y軸，CG⊥y軸，垂足分別為F、G，根據(jù)點的坐標得到△ABE和△ACE是同底的兩個三角形，即可得出答案；
（4）存在這樣的b，根據(jù)全等三角形的判定證△BEF≌△CEG，推出BE=CE，根據(jù)直角三角形的性質，當OE=CE時，△OBC為直角三角形，代入即可求出b的值．
點評：本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解二元一次方程組，三角形的面積，全等三角形的性質和判定，直角三角形的性質等知識點的理解和掌握，熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，題型較好，綜合性強．