Question

【題目】（問(wèn)題情境）學(xué)習(xí)《探索全等三角形條件》后，老師提出了如下問(wèn)題：如圖①，△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC邊上的中線AD的取值范圍。同學(xué)通過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE.根據(jù)SAS可證得到△ADC≌△EDB，從而根據(jù)“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是 。解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.

（直接運(yùn)用）如圖②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的邊CD上中線.求證：BE=2AF.

（靈活運(yùn)用）如圖③，在△ABC中，∠C=90°，D為AB的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AC于點(diǎn)E，DF交AB于點(diǎn)F，連接EF，試判斷以線段AE、BF、EF為邊的三角形形狀，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）2＜AD＜10；（2）見(jiàn)解析（3）為直角三角形，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根據(jù)三角形的構(gòu)成三角形得到AE的取值，再根據(jù)D為AE中點(diǎn)得到AD的取值；

（2）延長(zhǎng)AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根據(jù)∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根據(jù)AB=AC，AD=AE即可利用SAS證明△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可證明BE=2AF.

（3）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=FD，連結(jié)GA，GE，證明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.

（1）∵△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=8，

∵AB=12，

∴12-8＜AE＜12+8，

即4＜AE＜20，

∵D為AE中點(diǎn)

∴2＜AD＜10；

（2）延長(zhǎng)AF到H，使AF=HF，

由題意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，

∵AB⊥AC，AD⊥AE，

∴∠BAE+∠CAD=180°，

又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，

∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，

∴∠ACH+∠CAD=180°，

故∠BAE= ACH，

又AB=AC，AD=AE

∴△BAE≌△ACH（SAS），

故BE=AH,又AH=2AF

∴BE= 2AF.

（3）以線段AE、BF、EF為邊的三角形為直角三角形，理由如下：

延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=FD，連結(jié)GA，GE，

由題意得△DBF≌△ADG，

∴FD=GD，BF=AG,

∵DE⊥DF，

∴DE垂直平分GF,

∴EF=EG,

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

又∠B=∠DAG，

∴∠DAG +∠CAB=90°

∴∠EAG=90°，

故EG2=AE2+AG2，

∵EF=EG, BF=AG

∴EF2=AE2+BF2，

則以線段AE、BF、EF為邊的三角形為直角三角形.