已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D(1,-4),且經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0).
(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C,試判斷△BCD的形狀,并說明理由;
(3)設(shè)經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的圓的圓心為O′,設(shè)⊙O′與x軸的另一個交點(diǎn)為E,求線段BE的長.
分析:(1)由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及A點(diǎn)坐標(biāo),利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可;
(2)首先求出二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得出CD,BD,BC的長度,進(jìn)而得出答案;
(3)利用直角三角形的性質(zhì)得出四邊形OMDE是矩形,進(jìn)而求出即可.
解答:解:(1)∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D(1,-4),且經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),
∴二次函數(shù)解析式為:y=a(x-1) 2-4,
將A(-1,0)代入解析式得:0=a(-1-1) 2-4,
∴a=1,
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為:y=(x-1) 2-4;

(2)∵拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C,
∴0=(x-1) 2-4;
x1=-1,x2=3,
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為:(3,0),
y=(0-1) 2-4=-3,
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為:(0,-3),
過點(diǎn)D作DM⊥y軸,DN⊥BN,BN∥y軸,
∴CD=
MD2+CM2
=
2

BD=
BN2+DN2
=
42+22
=2
5
,
BC=
OB2+CO2
=3
2

∴CD2+BC2=BD2
∴△BCD是直角三角形;

(3)連接ED,
∵△BCD是直角三角形.
∴BD是⊙O′的直徑,
∴∠DEB=90°,
∵∠MOE=90°,∠OMD=90°,
∴四邊形OMDE是矩形,
∴MD=OE=1,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,0).
∴BE=2.
點(diǎn)評:此題主要考查了頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及矩形判定方法和直角三角形判定方法,根據(jù)已知得出CD,BD,BC的長度是解題關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為原點(diǎn),直線y=
12
x+4的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點(diǎn)(8,8),直線與x軸的交點(diǎn)為C,與y軸的交點(diǎn)為B.
(1)求B點(diǎn)的坐標(biāo)與這個二次函數(shù)的解析式;
(2)P為線段AB上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過P點(diǎn)作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于D點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)E.設(shè)該線段PD的長為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,求h與t之間的函數(shù)解析式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與△B精英家教網(wǎng)OC相似?若存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為(-2,5),圖象與y軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3).
(1)求該函數(shù)的解析式;
(2)求該二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)B、C的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P(1,-4),且與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)A(3,0),
(1)求該二次函數(shù)的解析式(化為一般形式);
(2)若二次函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)(2,y1),(3,y2),試判斷函數(shù)值y1、y2的大小;
(3)請問:如何平移該拋物線(寫出一種簡單情況即可),使圖象經(jīng)過原點(diǎn)?并寫出此時拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為原點(diǎn),直線y=
12
x+4
的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點(diǎn)(8,8),直線與x軸的交點(diǎn)為C,與y軸的交點(diǎn)為B.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式與B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)P為線段AB上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P與A,B不重合),過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于D點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)E.設(shè)線段PD的長為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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