Question

如圖所示，在長方形ABCD中，AB=3，BC=9，將圖形沿著EF對折，使得B點與D點重合，A點落在A′的位置．
（1）求DE的長度；
（2）試說明DE=DF的理由；
（3）求EF的長度．

Answer 1

解：（1）∵圖形沿著EF對折，B點與D點重合，A點落在A′的位置，
∴A′E=AE，A′D=AB，
在長方形ABCD中，AB=3，BC=9，
∴A′D=3，AD=BC=9，
∴A′E=AE=AD-DE=9-DE，
在Rt△A′DE中，A′E²+A′D²=DE²，
∴（9-DE）²+3²=DE²，
解得DE=5；

（2）由翻折的性質得，∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（3）如圖，過點F作FG⊥AD于G，
則FG=AB=3，
在Rt△DFG中，DG===4，
EG=DE-DG=5-4=1，
在Rt△EFG中，EF===．
分析：（1）根據翻折的性質可得A′E=AE，A′D=AB，再用DE表示出A′E，然后在Rt△A′DE中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根據翻折的性質可得∠BFE=∠DFE，再根據長方形的對邊平行可得AD∥BC，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BFE=∠DEF，從而得到∠DFE=∠DEF，再根據等角對等邊證明即可；
（3）過點F作FG⊥AD于G，在Rt△DFG中，利用勾股定理列式求出DG，再求出EG，然后在Rt△EFG中，利用勾股定理列式求解即可．
點評：本題考查了翻折變換的性質，勾股定理的應用，熟記翻折前后的圖形能夠互相重合得到相等的角和線段是解題的關鍵，（3）難點在于作輔助線構造出直角三角形．