Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2（m+1）x+m（m+2）
（1）求證：無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為定值．
（2）若該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2，試求二次函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)拋物線與x軸的兩交點(diǎn)分別為（a，0），（b，0），

則a+b=2（m+1），ab=m（m+2），

所以|a﹣b|= = = =2，

即無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為定值

（2）解：根據(jù)題意得x=﹣ =2，解得m=0，

則拋物線解析式為y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

所以二次函數(shù)的最小值為﹣1

【解析】（1）設(shè)拋物線與x軸的兩交點(diǎn)分別為（a，0），（b，0），根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，得到方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）=0的兩根分別為a與b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=2（m+1），ab=m（m+2），而函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離可表示為|a﹣b|，然后根據(jù)代數(shù)式的變形得到|a﹣b|= = ，再利用整體代入的方法得到|a﹣b|= =2，由此可判斷函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為定值．（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程得到x=﹣ =2，解得m=0，則拋物線解析式為y=x2﹣2x，然后配成頂點(diǎn)式得到二次函數(shù)的最小值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．才能正確解答此題．